Question

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）分别令n=2，3，4，5，由题设条件能够得到a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆的值，从而能够求出S₆．
（2）由条件得

an+1=an+an+2 an+2=an+1+an+3

，a_n+3=-a_n，由此知a_n+6=-a_n+3=a_n．
（3）由题设条件能够知a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．S₆=0．再由S_6n+k=S_k，n∈N^*，能够导出数列前n项和S_n．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=0．（4分）
（2）由条件得

an+1=an+an+2 an+2=an+1+an+3

，
∴a_n+3=-a_n，（6分）∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．（8分）
（3）a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．（10分）
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．（12分）
∴Sn=

0 n=6k a n=6k+1 a+b n=6k+2 2b n=6k+3 2b-a n=6k+4 b-a n=6k+5

，k∈N^*（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列递推式的灵活运用．