Question

在数列{a_n}中，a 1=

1

3

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

1

an

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

an

n

}的前n项和为T_n，证明：

1

3

≤Tn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得

1

an

-

1

an-1

=1，由此推导出b_n-b_n-1=1，从而得到b_n=n+2．
（Ⅱ）由

an

n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），利用错位相减法求出T_n=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]，由此能够证明

1

3

≤Tn＜

3

4

．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a 1=

1

3

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，b_n=

1

an

（n∈N^*），
∴当n=1时，b1=

1

a1

=3；
当n≥2时，由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得

1

an

-

1

an-1

=1，
∴b_n-b_n-1=1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴b_n=n+2．
（Ⅱ）∵

an

n

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]，
∴T_n是关于变量n的增函数，当n趋近无穷大时，

1

n+1

+

1

n+2

的值趋近于0，
当n=1时，T_n取最小值

1

3

，故有

1

3

≤Tn＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意迭代法和裂顶求和法的合理运用．