题目内容

设数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则a2012=（　　）
分析：根据给出的首项等于1，结合给出的递推式可以判断an•an+1≠0，把给出的递推式两边同时取倒数，整理后可得数列{
1
an
}是以 1为首项，以2为公差的等差数列，求出
1
an
后可得an．从而得出a2012．
解答：解：由a1=1，an+1=
an
1+2an
得：an•an+1≠0．
∴
1
an+1
-
1
an
=2  （n∈N*），
∴数列{
1
an
}是以
1
a1
=1为首项，以2为公差的等差数列．
则
1
an
=1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
所以an=
1
2n-1
．
则a2012=
1
4023
．
故选B．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}中，若an+1=an+an+2，（n∈N*），则称数列{an}为“凸数列”．
（1）设数列{an}为“凸数列”，若a1=1，a2=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{an}中，求证：an+6=an，n∈N*；
（3）设a1=a，a2=b，若数列{an}为“凸数列”，求数列前n项和Sn．
设数列{an}中，若an+1=an+an+2，（n∈N*），则称数列{an}为“凸数列”．
（1）设数列{an}为“凸数列”，若a1=1，a2=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{an}中，求证：an+3=-an，n∈N*；
（3）设a1=a，a2=b，若数列{an}为“凸数列”，求数列前2010项和S2010．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
设数列{an}中，a1=2，an+1=2an+3，则通项an可能是（　　）

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