Question

1．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），其中向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，-3cosx），$\overrightarrow{c}$=（-cosx，sinx）．（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函数公式可得f（x）=2+$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），易得最大值和最小正周期；
（2）解2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π可得函数f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，-3cosx），$\overrightarrow{c}$=（-cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（sinx-cosx，-3cosx+sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=sinx（sinx-cosx）-cosx（-3cosx+sinx）
=sin²x-sinxcosx+3cos²x-sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$-sin2x+3•$\frac{1+cos2x}{2}$
=2+cos2x-sin2x=2+$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最大值为2$+\sqrt{2}$，最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+2π可解得kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．