Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，E在PD上，且PE=2ED，F是PC的中点，
（1）证明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求证：BF∥平面ACE；
（3）求三棱锥D-BCF的体积V．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，由已知得AC⊥BD，PA⊥BD，BD⊥面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PE的中点G，连BG，FG，由已知得BG∥OE，EG∥CE，从而平面BFG∥平面ACE，由此能证明BF∥平面ACE．
（Ⅲ）由V_D-BCF=V_F-BCD，利用等积法能求出三棱锥D-BCF的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，
因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，BD⊥面PAC，
故平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）证明：取PE的中点G，连BG，FG，
由F是PC的中点，O是BD的中点，得
BG∥OE，EG∥CE，所以平面BFG∥平面ACE，
故BF∥平面ACE．
（Ⅲ）解：V_D-BCF=V_F-BCD
=

1

3

×S△BCD×

1

2

AP
=

1

3

×

1

2

×2×2×sin120°×

1

2

×2
=

3

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．