Question

某高校有奖励基金本金1000万元，此基金每年购买银行的两种风险和收益不同的理财产品A和B，把每年产生的收益用来奖励品学兼优的大学生，本金继续购买这两种理财产品．第一年购买理财产品A和B各500万元，为了规避风险以后规定：上一年购买产品A的本金，下一年会有20%购买产品B，而上一年购买产品B的本金，下一年会有30%购买产品A．用a_n，b_n（n∈N^*）分别表示在第n年购买理财产品A和B的本金数（单位：万元）．
（1）分别求出a₂，b₂，a₃；
（2）①证明数列{a_n-600}是等比数列，并求a_n；②求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知a_n+b_n=1000，又a₁=500，b₁=500，可得a₂=0.8a₁+0.3b₁，b₂=1000-a₂，a₃=0.8a₂+0.3b₂．
（2）①由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，可得a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，化为a_n+1-600=

1

2

（a_n-600），即可证明，利用通项公式即可得出；
②由①知，a_n+b_n=1000，可得bn=400+100×(

1

2

)n-1，利用等比数列的前n项和即可得出．

解答： （1）解：由已知a_n+b_n=1000，又a₁=500，b₁=500，
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．
（2）①证明：由题意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，
∴a_n+1-600=

1

2

（a_n-600），
∴数列{a_n-600}是首项为-100，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n-600=-100×(

1

2

)n-1，
∴an=600-100×(

1

2

)n-1．
②解：由①知，a_n+b_n=1000，
∴bn=400+100×(

1

2

)n-1，
∴T_n=400n+

100[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=400n+200-200×

1

2n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．