Question

设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知A（0，1），B（0，-1），且

MN

=λ

AB

．
（1）求动点C的轨迹E；
（2）（理科）若直线y=kx+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足

OP

•

OQ

=0，求实数b的取值范围．
（文科）若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足

OP

•

OQ

=0，求实数b的取值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点C（x，y ），运用重心坐标公式可得点M，由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于

x

3

，又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于0．由于NA=NC，可得方程，化简可得轨迹方程，从而得到轨迹．
（2）（理科）把直线y=kx+b代入轨迹E的方程化简，再由韦达定理，结合向量数量积为0，化简整理，即可得到b的取值范围；
（文科）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简，再由韦达定理和判别式大于0，结合向量数量积为0，化简整理，即可得到b的取值．

解答： 解：（1）设点C（x，y ），则点M（

0+0+x

3

，

1-1+y

3

 ），
即点M（

x

3

，

y

3

 ），
由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的横坐标等于

x

3

，
又N在AB的中垂线上，故纵坐标等于0．
由于N是不等边△ABC的外心，∴NA=NC，
∴

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

．
化简可得，

x2

3

+y²=1，xy≠0，
故动点C的轨迹E是焦点在x轴上的标准位置的一个椭圆，去掉其顶点．
（2）（理科）将直线y=kx+b代入方程

x2

3

+y²=1（xy≠0），化简可得，
（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0，由题意可得，
b≠0，b≠±1且△=（6kb）²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，
化简得，b≠0，b≠±1且b²-1＜3k²，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（kx₁+b）•（kx₂+b）=（1+k²）x₁•x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0．
x₁+x₂=-

6kb

1+3k2

，x₁x₂=

3b2-3

1+3k2

，
即有（1+k²）•

3b2-3

1+3k2

+kb•（-

6kb

1+3k2

）+b²=0
解得，3k²=4b²-3，
则b≠0，b≠±1，4b²-3≥0，4b²-3＞b²-1，
解得，b≤-

3

2

或b≥

3

2

且b≠±1．
（文科）把直线y=x+b代入轨迹E的方程化简可得  4x²+6bx+3b²-3=0．
由题意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，解得，b≠0，b≠±1且b²＜4，
x₁+x₂=-

3b

2

，x₁•x₂=

3b2-3

4

．
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•

3b2-3

4

+b•（

-3b

2

）+b²=0，解得 b²=

3

2

，
∴b=±

6

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，判断轨迹E的形状，是解题的易错点．