Question

5．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6≥0}\\{4x-y-2≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 9+2$\sqrt{14}$
• B． 4+2$\sqrt{6}$
• C． 9+2$\sqrt{15}$
• D． 5+2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6=0}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=14}\end{array}\right.$，即A（4，14），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即4a+14b=2，∴2a+7b=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（2a+7b）=2+7+$\frac{7b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥9+2$\sqrt{\frac{7b}{a}•\frac{2a}{b}}$=9+2$\sqrt{14}$，
当且仅当$\frac{7b}{a}$=$\frac{2a}{b}$，即2a²=7b²时取等号．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9+2$\sqrt{14}$，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．