Question

6．设实数x，y为任意的正数，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，求使m≤2x+y恒成立的m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，8]
• B． （-∞，8）
• C． （8，+∞）
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 不等式2x+y≥m恒成立?（2x+y）_min≥m．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，当且仅当y=2x=4时取等号．
∵不等式2x+y≥m恒成立?（2x+y）_min≥m．
∴m∈（-∞，8]，
故选：A．

点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．