Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数法判断函数的单调性；
（2）首先把函数解析式变形，
再借用对数函数值域和基本不等式求出x≤0时f（x）的值域，
最后利用奇函数图象关于原点对称的性质求出x≥0时的值域，进而问题解决．
解答：（1）答：函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．
证明：f′（x）===
其中3^x＞0，ln3＞0，且x＜0时，0＜9^x＜1，
所以f′（x）＞0，
所以函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．
（2）解：当x≤0时，=
因为，则∈[2，+∞），
所以f（x）在（-∞，0]上的值域是（-，0]，
又f（x）是R上的奇函数，
所以f（x）在[0，+∞）上的值域是[0，），
故y=f（x）在R上的值域是．
点评：本题主要考查导数法判断函数的单调性和奇函数的图象特征，同时考查对数函数的值域及基本不等式．