Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0 时，f（x）的图象如图所示，则不等式x[f（x）-f（-x）]≤0 的解集为

[-3，3]

．

Answer 1

分析：利用函数是奇函数，则不等式x[f（x）-f（-x）]≤0 等价为2xf（x）≤0，结合函数图象的对称性解不等式即可．

解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
由图象可知当x＞3或-3＜x＜0时，f（x）＞0，
当x＜-3或0＜x＜3时，f（x）＜0，
则不等式x[f（x）-f（-x）]≤0 等价为2xf（x）≤0，
若x=0时，不等式成立，
若x＞0，则f（x）≤0，此时0＜x≤3，
若x＜0，则f（x）≥0，此时0-3≤x＜0，
综上：-3≤x≤3，
即不等式的解集为[-3，3]，
故答案为：[-3，3]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合解不等式是解决本题的关键．