Question

3．从年级抽取了21名考生在11月，02月两次月考的某科成绩进行统计，考生成绩均在[50，100]之间，发现这两次成绩高度正相关，考生成绩分布茎叶图如图：

记每位考生的11月成绩为x_i，12月成绩为y_i，统计出：$\sum_{i=1}^{21}{x_i}=1575，\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{x_i^2}=5741，\sum_{i=1}^{21}{y_i}=1554，\frac{1}{21}\sum_{i=1}^{21}{{x_i}{y_i}}=5666$
由于统计老师的疏忽，统计表放在办公室被小猫抓坏，造成12月成绩中部分成绩茎叶图损坏（如图：
图中阴影区域），不知道统计人数和具体分数．凭记忆，知道12月成绩前三个分数段人数成等比数列，
后三个分数段人数成等差数列．
（1）求12月成绩在60分数段的人数，及12月成绩的样本中位数；
（2）计算两次月考成绩的回归方程，并预估11月考试成绩为88分的考生，在12月考试中的成绩．
注：$\widehat{b}$=$\frac{{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{{x_1}{y_1}-\overline{xy}}}}{{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_1^2-{{（{\overline x}）}^2}}}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，74²=5476，75²=5625，76²=577674•75=5550，75•76=5700．

Answer 1

分析 （1）利用12月成绩前三个分数段人数成等比数列，后三个分数段人数成等差数列，即可求12月成绩在60分数段的人数，及12月成绩的样本中位数；
（2）利用公式求出b，a，可得线性回归方程，即可得出结论．

解答 解：（1）∵后三个分数段人数成等差数列，
∴后三个分数段人数为8，5，2，
前两个分数段6人，
∵前三个分数段人数成等比数列，
∴前两个分数段人数分别为2，4，60分数段的人数为4，12月成绩的样本中位数为74；
（2）$\widehat{b}$=$\frac{5666-75•74}{5741-7{5}^{2}}$=1，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=74-75=-1，
∴y=x-1
∴x=88，y=87．

点评 本题考查线性回归方程，考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．