Question

13．设a为实数，函数f（x）=x²+2a$\sqrt{1-{x}^{2}}$+a²-6a+13
（1）设t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，把函数y=f（x）表示成关于t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值M；
（3）是否存在常数b，使b＞0，b≠1且当a＞1时，h（a）=log_bM的最大值等于-$\frac{4}{3}$？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，可得0≤t≤1；从而求g（t）=1-t²+2at+α²-6α+13=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）由g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]，讨论a以确定函数的最大值，从而写出最大值M；
（3）假设存在常数b，使b＞0，b≠1且当a＞1时，h（a）=log_bM的最大值等于-$\frac{4}{3}$．即有h（a）=log_b（a²-4a+13）在a＞1时，有最大值-$\frac{4}{3}$．运用二次函数的最值求法，结合复合函数的单调性，解方程可得b的值，即可得到结论．

解答 解：（1）t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，则0≤t≤1，
即有x²=1-t²，
则g（t）=1-t²+2at+a²-6a+13，
=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
（2）g（t）=-（t-a）²+2a²-6a+14，t∈[0，1]；
当a≤0时，g_max（t）=g（0）=a²-6a+14，
当0＜a＜1时，g_max（t）=g（a）=2a²-6a+14，
当a≥1时，g_max（t）=g（1）=a²-4a+13．
故M=g_max（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-6a+14，a≤0}\\{2{a}^{2}-6a+14，0＜a＜1}\\{{a}^{2}-4a+13，a≥1}\end{array}\right.$；
（3）假设存在常数b，使b＞0，b≠1且当a＞1时，h（a）=log_bM的最大值等于-$\frac{4}{3}$．
即有h（a）=log_b（a²-4a+13）在a＞1时，有最大值-$\frac{4}{3}$．
可得a²-4a+13=（a-2）²+9，当a=2时，取得最小值9，
可得log_b9=-$\frac{4}{3}$，解得b=$\frac{\sqrt{3}}{9}$∈（0，1），检验成立，即假设成立．
故存在常数b，b=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，且当a＞1时，h（a）=log_bM的最大值等于-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了换元法的应用及分段函数的应用，考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，同时考查存在性问题的解法，注意运用复合函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．