Question

13．设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R都有$f（{\frac{1}{2}-t}）=f（{\frac{1}{2}+t}）$，且x∈[0，$\frac{1}{2}$]时，f（x）=-x²，则f（3）+f（-$\frac{3}{2}$）的值等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -$\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 对任意t∈R都有$f（{\frac{1}{2}-t}）=f（{\frac{1}{2}+t}）$，可得f（1-t）=f（t），又定义在R上的奇函数y=f（x），可得f（1+x）=f（-x）=-f（x），转化即可得出．

解答 解：∵对任意t∈R都有$f（{\frac{1}{2}-t}）=f（{\frac{1}{2}+t}）$，
∴f（1-t）=f（t），
又定义在R上的奇函数y=f（x），
∴f（1+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（3）=-f（2）=f（1）=-f（0）=0，
$f（-\frac{3}{2}）$=-$f（\frac{3}{2}）$=$f（\frac{1}{2}）$=$-（\frac{1}{2}）^{2}$=-$\frac{1}{4}$．
∴f（3）+f（-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．