Question

5．已知$\stackrel{?}{a}$与$\stackrel{?}{b}$的夹角为120°，若（$\stackrel{?}{a}$+$\stackrel{?}{b}$）⊥（$\stackrel{?}{a}$-$\stackrel{?}{b}$），且|$\stackrel{?}{a}$|=2，则$\stackrel{?}{b}$在$\stackrel{?}{a}$方向上的正射影的数量为-1．

Answer 1

分析 由题意利用两个向量垂直的性质求得|$\overrightarrow{b}$|=2，再利用一个向量在另一个向量上的射影的定义求得$\stackrel{?}{b}$在$\stackrel{?}{a}$方向上的正射影的数量．

解答 解：∵（$\stackrel{?}{a}$+$\stackrel{?}{b}$）⊥（$\stackrel{?}{a}$-$\stackrel{?}{b}$），∴（$\stackrel{?}{a}$+$\stackrel{?}{b}$）•（$\stackrel{?}{a}$-$\stackrel{?}{b}$）=0，即 ${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$．
再根据|$\stackrel{?}{a}$|=2，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=4，|$\overrightarrow{b}$|=2．
∵已知$\stackrel{?}{a}$与$\stackrel{?}{b}$的夹角为120°，∴$\stackrel{?}{b}$在$\stackrel{?}{a}$方向上的正射影的数量为|$\overrightarrow{b}$|•cos120°=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于基础题．