Question

14．如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=6$\sqrt{2}$．

（ I）求证：平面ODM⊥平面ABC；
（ II）求二面角M-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出OD⊥AC，DO⊥OM，从而OD⊥面ABC，由此能证明平面ODM⊥平面ABC．
（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AD-C的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，OD⊥AC，
△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，
∴OD=6，
又M是BC中点，∴$OM=\frac{1}{2}AB=6，MD=6\sqrt{2}$，
∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM，
∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O，
∴OD⊥面ABC，
又∵OD?平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…（6分）
解：（Ⅱ）由题意，OD⊥OC，OB⊥OC，
又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件知：$D（{6，0，0}），A（{0，-6\sqrt{3}，0}），M（{0，3\sqrt{3}，3}）$
故$\overrightarrow{AM}=（{0，9\sqrt{3}，3}），\overrightarrow{AD}=（{6，6\sqrt{3}，0}）$，
设平面MAD的法向量$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AM}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}9\sqrt{3}y+3z=0\\ 6x+6\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，令$y=-\sqrt{3}$，则x=3，z=9
∴$\overrightarrow m=（{3，-\sqrt{3}，9}）$
由条件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量为$\overrightarrow n=（{0，0，1}）$
所以，$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{3\sqrt{93}}}{31}$
由图知二面角M-AD-C为锐二面角，
故二面角M-AD-C的余弦值为$\frac{{3\sqrt{93}}}{31}$．（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．