Question

在△ABC中，
①若A＞B，则cos2A＜cos2B；
②tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
③若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；
④若（1+tanA）（1+tanB）=2，则A+B=2kπ+

π

4

．
以上命题的正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,解三角形

分析：①由A＞B得出sinA＞sinB＞0；即sin²A＞2sin²B，推导出cos2A＜cos2B，判定命题正确；
②由A+B+C=π得出tan（A+B）=-tanC，推导出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，得出△ABC是锐角三角形，命题正确；
③由A+B=π-C＞

π

2

，得出B＞

π

2

-A，即sinB＞sin（

π

2

-A），得出cosA＜sinB，判定命题正确；
④由（1+tanA）（1+tanB）=2推导出tan（A+B）=1，即A+B=

π

4

，判定命题错误．

解答： 解：①△ABC中，A＞B，则a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得，1＞sinA＞sinB＞0；
∴sin²A＞2sin²B，∴1-2sin²A＜1-2sin²B，
即cos2A＜cos2B，∴命题正确；
②△ABC中，A+B+C=π，∴tan（A+B）=-tanC，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
∴△ABC是锐角三角形，∴命题正确；
③△ABC是锐角三角形，∴A+B=π-C＞

π

2

，∴B＞

π

2

-A，
∴sinB＞sin（

π

2

-A）=cosA，即cosA＜sinB，∴命题正确；
④△ABC中，（1+tanA）（1+tanB）=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∴

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，即tan（A+B）=1，∴A+B=

π

4

，∴命题错误．
故答案为：①②③．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了三角恒等变换问题，解三角形的问题，是综合题目．