Question

6．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R．
（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点P（x，y），由点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，能求出点P的轨迹的直角坐标方程．
（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+10=0$，由P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，求出圆心到直线的距离，从而能求出点P到直线的距离的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设点P（x，y），
∵点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，且参数a∈R，
∴点P的轨迹的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，∴$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=5$，
∴$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y+10=0$，
由（1）知点P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-2+10|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
∴点P到直线的距离的最大值为4+2=6．

点评 本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．