Question

10．数列{a_n}的通项a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$），其前n项和为S_n，则S₂₉为（　　）

• A． -430
• B． -470
• C． 470
• D． 490

Answer 1

分析 a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²$cos\frac{2nπ}{3}$．可得：当n=3k时，k∈N^*，a_n=a_3k=n²；当n=3k-1时，a_n=a_3k-1=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$；当n=3k-2时，a_n=a_3k-2=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$．即可得出．

解答 解：a_n=n²（cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$）=n²$cos\frac{2nπ}{3}$，
当n=3k时，k∈N^*，a_n=a_3k=n²cos2kπ=n²；
当n=3k-1时，a_n=a_3k-1=n²$cos（2kπ-\frac{2}{3}π）$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$；
当n=3k-2时，a_n=a_3k-2=n²$cos（2kπ-\frac{4π}{3}）$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$．
∴a_3k+a_3k-1+a_3k-2=（3k）²-$\frac{1}{2}（3k-1）^{2}$$-\frac{1}{2}（3k-2）^{2}$=9k-$\frac{5}{2}$．
∴S₂₉=9×（1+2+…+9+10）-a₃₀-$\frac{5}{2}×10$
=-430．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、三角函数求值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．