Question

5．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列命题：
①若ab＞c²，则C$＜\frac{π}{3}$；
②若a+b＞2c，则C$＜\frac{π}{3}$；
③若a³+b³=c³，则C$＜\frac{π}{2}$；
④若（a+b）c＜2ab，则ab＞c²；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，则C$＞\frac{π}{3}$．
其中正确命题是①②③（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；
②利用余弦定理，将c²放大为（$\frac{a+b}{2}$）²，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；
③利用放缩法，结合三角形的边长关系进行判断即可．
④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；

解答 解：①ab＞c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{2ab-ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故①正确；
②a+b＞2c⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{3}{8}$×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故②正确；
③∵a³+b³=c³，∴（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³=1，即0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
则1=（$\frac{a}{c}$）³+（$\frac{b}{c}$）³＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²，
即c²＜a²+b²，故C$＜\frac{π}{2}$；故③正确；
④⑤取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab，（a²+b²）c²＜2a²b²成立得：C＜$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，故④⑤错误；
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题．