Question

7．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=2，EC=$\sqrt{7}$，EA=3，∠ADC=$\frac{2π}{3}$，∠BEC=$\frac{π}{2}$．
（1）求sin∠CED的值；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，由余弦定理，即可求得CD的值，由正弦定理即可求得sin∠CED的值；
（2）由题意可知cos∠AEB的值，在在Rt△EAB中，cos∠AEB=$\frac{EA}{BE}$，即可求得BE的值．

解答 解：（1）设∠CED=α，在△CDE中，由余弦定理，得EC²=CD²+DE²-2CD•DE•cos∠EDC
于是由题设知，7=CD²+4+2CD，即CD²+2CD-3=0解得CD=1（CD=-3舍去），
在△CDE中，由正弦定理，得$\frac{EC}{sin∠EDC}=\frac{CD}{α}$，
$sinα=\frac{{CD•\frac{2π}{3}}}{EC}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}，即sin∠CED=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$；…（6分）
（2）由题设知，$0＜α＜\frac{π}{2}$，于是由（1）知，
而$∠AEB=\frac{π}{2}-α$，所以$cos∠AEB=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$
在Rt△EAB中，$cos∠AEB=\frac{EA}{BE}=\frac{3}{BE}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
∴$BE=2\sqrt{21}$．…（12分）

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大，属于中档题．