Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_2n，求数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1，当n=1，a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n的通项公式，即可求得$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用”裂项法“即可求得数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列{a_n}的通项公式：a_n=2^n-1，
（2）b_n=log₂a_2n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）]，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n=$\frac{n}{2n+1}$，

点评 本题考查等比数列的通项公式，采用”裂项法“求数列的前n项和，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．