Question

已知函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是递减数列．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．代入利用对数的运算性质可得an-

1

an

=-2n，又a_n＞0，解出即可．
（2）由（1）可得an=

1

n2+1 +n

，即可证明其单调性．

解答： （1）解：∵函数f（x）=2^x-2^-x，数列{a_n}满足f（log₂a_n）=-2n．
∴2log2an-2-log2an=-2n，
∴an-

1

an

=-2n，又a_n＞0，
解得an=

n2+1

-n．
（2）证明：∵an=

1

n2+1 +n

，

n2+1

+n随着n的增大而增大且大于0，
∴数列{a_n}是递减数列．

点评：本题考查了数列的通项公式的求法、指数与对数的运算性质、分子有理化，考查了计算能力，属于基础题．