Question

7．设F₁、F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（b＞0）的左、右焦点．若P是椭圆E上的一个动点．且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=ky-1与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合）．则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点坐标，设出P的坐标（m，n），运用向量的数量积的坐标表示，以及两点的距离的含义，结合椭圆的性质，可得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x₁=ky₁-1，x₂=ky₂-1代入求得x=-4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（-4，0）．

解答 解：（1）设P（m，n），由椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1
可得，F₁（-$\sqrt{4-b}$，0），F₂（$\sqrt{4-b}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{4-b}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{4-b}$-m，-n），
可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=m²+n²-（4-b），
由m²+n²表示原点和椭圆上的点的距离的平方，
可得x轴上的顶点与原点的距离最大，
即有4-（4-b）=1，解得b=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得（ky-1）²+4y²=4，即（k²+4）y²-2ky-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则A′（x₁，-y₁）．
且y₁+y₂=$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
经过点A′（x₁，-y₁），B（x₂，y₂）的直线方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）．
令y=0，则x=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）{y}_{1}+{x}_{1}（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵x₁=ky₁-1，x₂=ky₂-1．
∴当y=0时，x=$\frac{（k{y}_{2}-1）{y}_{1}+（k{y}_{1}-1）{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2k{y}_{1}{y}_{2}-（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
=$\frac{2k•\frac{-3}{4+{k}^{2}}-\frac{2k}{4+{k}^{2}}}{\frac{2k}{4+{k}^{2}}}$=-4．
这说明，直线A′B与x轴交于定点（-4，0）．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．