Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点到直线4x-5y+40=0的最小距离为$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

Answer 1

分析 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，由点到直线距离公式和三角函数性质能求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点到直线4x-5y+40=0的最小距离．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点P（5cosα，3sinα），0≤α＜2π，
则P到直线4x-5y+40=0的距离：d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{16+25}}$=$\frac{\sqrt{41}}{41}|25sin（α+θ）+40|$，
∴当sin（α+θ）=-1时，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点到直线4x-5y+40=0的最小距离为$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

点评 本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是中档题，注意椭圆的参数方程的合理运用．