Question

13．对于两个定义域均为D的函数f（x），g（x），若存在最小正实数M，使得对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤M，则称M为函数f（x），g（x）的“差距”，并记作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；
（2）设f（x）=$\sqrt{x}$（x∈[1，e${\;}^{\frac{a}{2}}$]），g（x）=mlnx（x∈[1，e${\;}^{\frac{a}{2}}$]）．（e≈2.718）
①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求满足条件的最大正整数a；
②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据题设“差距”定义可转化为三角函数求值问题；
（2）①利用函数的单调性可直接求出最大正整数；②构造新函数h（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-mlnx，
对h（x）求导，参数m分类讨论根据函数的单调性求出m的取值范围；

解答 解：（1）由题意：|f（x）-g（x）|=|sinx-cosx|=$\sqrt{2}$|sin（x-$\frac{π}{4}$）|≤$\sqrt{2}$，
当x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z时取“=”，所以||f（x），g（x）||=$\sqrt{2}$；
（2）①令h（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-2lnx．则h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{\sqrt{x}-4}{2x}$，令h′（x）=0，则x=16．列表：

x	（0，16）	16	（16，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

∵h（1）=1；当a=3时，h（${e}^{\frac{a}{2}}$）=${e}^{\frac{3}{4}}$-3，由于e³＞16，因此${e}^{\frac{3}{4}}$＞2，所以${e}^{\frac{3}{4}}$-3＞-1；
当a=4时，h（${e}^{\frac{a}{2}}$）=e-4＜-1，故满足条件的最大正整数为3．                                     
②令h（x）=f（x）-g（x）=$\sqrt{x}$-mlnx，则h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{m}{x}$=$\frac{\sqrt{x}-2m}{2x}$．
（1）若m≤$\frac{1}{2}$，则h′（x）≥0，从而h（x）在[1，e]上递增，又h（1）=1，h（e）=$\sqrt{e}$-m，所以$\sqrt{e}$-m=2，m=$\sqrt{e}$-2；
（ii）若m≥$\frac{\sqrt{e}}{2}$，则h′（x）≤0，从而h（x）在[1，e]上递减，又h（1）=1，h（e）=$\sqrt{e}$-m，所以$\sqrt{e}$-m=-2，m=$\sqrt{e}$-2；
（iii）若$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$，则由h′（x）=0，可得x=4m²，列表

x	1	（1，4m2）	4m2	（4m2，e）	e
h′（x）		-	0	+
h（x）	1	↘	2m-mln（4m2）	↗	$\sqrt{e}$-m

因为$\sqrt{e}$-m＜$\sqrt{e}$-$\frac{1}{2}$＜2，所以2m-mln（4m²）=-2，
令u（m）=2m-mln（4m²）=m（2-ln4）-2mlnm
∴u′（m）=2-ln4-2-2lnm=-ln4-2lnm=-2 ln2m＜0，
∴u（m）＞u（$\frac{\sqrt{e}}{2}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{\sqrt{e}}{2}$=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，故该情况不成立．
综上，m的取值范围是{$\sqrt{e}$-2，$\sqrt{e}$+2}．

点评 本题主要考查了对新定义的理解，利用导数判断函数的单调性应用以及构造新函数等知识点，属中等偏上题型．