Question

14．已知直线y=ax与圆C：（x-a）²+（y-1）²=a²-1交于A，B两点，且∠ACB=60°，则圆的面积为（　　）

• A． 6π
• B． 36π
• C． 7π
• D． 49π

Answer 1

分析 根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为Rsin60°，再根据点到直线的距离公式列出方程，求出圆的半径即可．

解答 解：圆C化为x²+y²-2ax-2y+2=0，
即（x-a）²+（y-1）²=a²-1，
且圆心C（a，1），半径R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直线y=ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线ax-y=0的距离为：
Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即d=$\frac{|{a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3（{a}^{2}-1）}}{2}$，
解得a²=7，
∴圆C的面积为πR²=π（7-1）=6π．
故选：A．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解题的关键．