Question

3．如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P-ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）若直线PC与AB所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，设AB=1，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点N，连接AN，MN，由三角形中位线定理可得及已知可得四边形ABMN为平行四边形，得AN∥BM，在由已知BM⊥平面PCD，可得AN⊥平面PCD，由面面垂直的判定可得平面PAD⊥平面PCD；
（2）取AD的中点O，连接PO，由AN⊥平面PCD，可得AN⊥PD，AN⊥CD．再由已知可得△PAD为等边三角形，得到CD⊥AD，则平面PAD⊥平面ABCD．再由线面垂直的性质可得PO是锥P-ABCD的高．由已知直线PC与AB所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，AB=1求得CD=2，PA=AD=AB=1，再由棱锥体积公式求得四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则$MN∥CD，MN=\frac{1}{2}CD$，
又$AB∥CD，AB=\frac{1}{2}CD$，∴MN∥AB，MN=AB，
则四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM，
又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，
∵AN⊆面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（2）解：取AD的中点O，连接PO，
∵AN⊥平面PCD，
∴AN⊥PD，AN⊥CD．
由ED=EA，即PD=PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形，
∴∠PDA=60°，
又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，则CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
∵PO⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?面PAD，
∴PO⊥面ABCD，
PO是锥P-ABCD的高．
∵AB∥CD，∴∠PCD为直线PC与AB所成的角，
由（1）可得∠PDC=90°，∴$tan∠PCD=\frac{PD}{CD}=\frac{1}{2}$，得CD=2PD，
由AB=1，可知CD=2，PA=AD=AB=1，
∴PO=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
${S}_{ABCD}=\frac{1}{2}（1+2）×2=3$．
则${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}•{S}_{ABCD}•PO$=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．