Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，且b＜a，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：解三角形

专题：综合题,解三角形

分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入求出a+b的值，即可求a，b；
（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

，
∴ab=4，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，即4=（a+b）²-12，
则a+b=4，
∴a=2，b=2；
（2）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

，此时b=

2 3

3

，S_△ABC=

2 3

3

；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，
由余弦定理知c²=a²+b²-2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得a=

2 3

3

．
此时S_△ABC=

1

2

×a×b×sinC=

2 3

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．