Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，长为2的线段MN点一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,轨迹方程

专题：空间位置关系与距离

分析：不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1，从而P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的

1

8

，由此能求出结果．

解答： 解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，
根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半，
得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的

1

8

．
其体积V=

1

8

×

4

3

×π×1³=

π

6

．
故答案为：

π

6

．

点评：本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．