Question

9．定义|b-a|为区间（a，b）（a，b∈R，a＜b）的长度．则不等式$\frac{3x-4}{{{x^2}+2x}}＞\frac{1}{4}$的所有解集区间的长度和为8．

Answer 1

分析 将分式不等式右边化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．

解答 解：由$\frac{3x-4}{{x}^{2}+2x}＞\frac{1}{4}$得$\frac{3x-4}{{x}^{2}+2x}-\frac{1}{4}＞0$，
化简得$\frac{{x}^{2}-10x+16}{{4（x}^{2}+2x）}＜0$，即$\frac{（x-2）（x-8）}{4x（x+2）}＜0$，
等价于（x-2）（x-8）x（x+2）＜0，如图所示：

由图可得，不等式的解集是（-2，0）∪（2，8），
∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，
故答案为：8．

点评 本题考查分式不等式的化简、及等价转化，以及穿根法的应用，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．