Question

14．若f（x）是定义域为[-1，0）∪（0，1]的奇函数，且当0＜x≤1时，f（x）=1-x，则不等式f（x）＜f（-x）+1的解集为（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．

Answer 1

分析 先求出-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=-1-x，再分类讨论，化抽象不等式为具体的不等式，即可得出结论．

解答 解：设-1≤x＜0，则0＜-x≤1，
∵当0＜x≤1时，f（x）=1-x，
∴f（-x）=1+x，
∵f（x）是定义域为[-1，0）∪（0，1]的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-1-x．
当0＜x≤1时，不等式f（x）＜f（-x）+1可化为1-x＜-1+x+1，∴x＞$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$＜x≤1；
当-1≤x＜0时，不等式f（x）＜f（-x）+1可化为-1-x＜1+x+1，∴x＞-$\frac{3}{2}$，∴-1≤x＜0；
综上，不等式f（x）＜f（-x）+1的解集为（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1]∪[-1，0）．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查解不等式，确定-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=-1-x，正确分类讨论是关键．