Question

3．若0＜θ＜π，且满足tan$\frac{θ}{2}$+tan$\frac{3θ}{2}$+tan$\frac{θ}{2}$tan$\frac{3θ}{2}$=1，则θ=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正切函数，求出2θ的正切函数值，然后求解角的大小．

解答 解：θ满足tan$\frac{θ}{2}$+tan$\frac{3θ}{2}$+tan$\frac{θ}{2}$tan$\frac{3θ}{2}$=1，
可得tan$\frac{θ}{2}$+tan$\frac{3θ}{2}$=1-tan$\frac{θ}{2}$tan$\frac{3θ}{2}$，
可得tan2θ=tan（$\frac{θ}{2}+\frac{3θ}{2}$）=1，
∵0＜θ＜π，2θ∈（0，2π），
∴2θ=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$，
解得θ=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$．
故答案为：$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$．

点评 本题考查两角和的正切函数的应用，注意角所在范围，考查计算能力．