Question

4．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA与底面垂直，且PA=AB，若该四棱锥的侧面积为16+4$\sqrt{2}$，则该四棱锥外接球的表面积为（1056-576$\sqrt{2}$）π．

Answer 1

分析 利用四棱锥的侧面积为16+4$\sqrt{2}$，求出AB，可得四棱锥外接球的直径为$\sqrt{3}a$=12$\sqrt{6}$-8$\sqrt{3}$，半径为6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$，即可求出四棱锥外接球的表面积．

解答 解：设PA=AB=a，则
∵四棱锥的侧面积为16+4$\sqrt{2}$，
∴2×$\frac{1}{2}{a}^{2}$+2×$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$=16+4$\sqrt{2}$，
∴a=12$\sqrt{2}$-8，
∴四棱锥外接球的直径为$\sqrt{3}a$=12$\sqrt{6}$-8$\sqrt{3}$，半径为6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$，
∴四棱锥外接球的表面积为4π（6$\sqrt{6}$-4$\sqrt{3}$）²=（1056-576$\sqrt{2}$）π．
故答案为：（1056-576$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查四棱锥外接球的表面积，求出四棱锥外接球的直径是关键．