Question

【题目】如图，四棱锥中，平面，，，，.是棱上的一点，.

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为.多面体的体积为，求.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知求出，在中，结合余弦定理求出，从而可知，由底面可推出，可证明面，进而可证明面面垂直.

（2）以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，设.由（1）知，取平面的法向量为，通过求出，，则可知平面的法向量为，进而由二面角的余弦值为可整理得；分别求出四棱锥的体积，的体积，则结合多面体的体积为，进而可求出的值.

解：（1）四边形中，，，所以.

在中，，，所以，.

则在中，，，，

所以，解得：.

由，知，即.

因为底面，平面，所以.

因为，是平面上的两条相交直线，所以面.

因为平面，所以平面平面.

（2）由（1）知：，，两两垂直，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，.

设，则，.

由（1）知，底面，故取平面的法向量为.

又，，

设平面的法向量为，则，即，

取，，得.

所以，由条件，知：，

整理得：①.四棱锥的体积，

又到面距离，所以的体积，

则多面体的体积为②，

由①，②得：，解得：或.

因为E是棱上的一点，所以.从而，.