Question

【题目】超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；

（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.

（i）证明：为等比数列；

（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据：，，，，，

，，，

Answer 1

【答案】（1）（且）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.

【解析】

（1）根据检验方式可知，的取值只为，易求得，而的可能取值为，再分别求出对应概率即可得到，列出等式即可解出；

（2）（i）先根据关系式赋值，，归纳猜出，再根据数学归纳法证明即可；

（ii）依题可知，，解不等式， ，构造函数（），由其单调性即可求出的最大值．

（1）当进行逐份检验时，；

当进行混合检验时，，

则

∵，∴

则，即（且）.

（2）（i）当时，有

则猜想：

下面用数学归纳法进行证明：

①当时，满足

②假设当时，

则当时，

设（且），则

∴

∴

∴

整理可得：

∴或（舍去）

由①②可得：对一切都成立.

即为等比数列.

（ii）依题可知：

由（1）可知：

∴

令（），则

所以在上单调递增，在上单调递减

∵，

则k的最大值为8.