Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）记，当时，恒有，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，求证：对任意，与在上有唯一公共点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）当时，恒有，等价于在上恒成立，只需求得在上的最大值，然后建立不等式求的取值范围即可；

（Ⅱ）问题可转化为证明在上具有单调性，先证在上单调递增，令（），然后利用零点存在定理证有解即可．

（Ⅰ），

则，

则，

当时，恒成立，

在上单调递增，

，

又在上恒成立，

，

解得；

（Ⅱ）问题可转化为证明（）单调，而，

，

令，

，

当时，，当时，，

故，

在上恒成立，

故在上单调递增，

令（），

因为，，

当时，，

所以当时，存在零点，即对任意，与在上至少有一个公共点，

再由在上单调递增，得对任意，与在上至多有一个公共点，

综上，对任意，与在上至少有一个公共点．