Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段B₁D₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求点E到平面A₁BD的距离．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）由已知得E到平面A₁BD的距离d等于B₁到平面A₁BD的距离d'，由此利用向量法能求出点E到平面A₁BD的距离．

解答： （1）证明：建立如图直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），A₁（0，0，1），
B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），

BD

=(-1，1，0)，

B1D1

=(-1，1，0)
∴

BD

=

B1D1

故BD∥B₁D₁
又B₁D₁?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，
∴B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）解：∵B₁D₁∥平面A₁BD且E在B₁D₁上，
∴E到平面A₁BD的距离d等于B₁到平面A₁BD的距离d'，

A1B1

=(1，0，0)，
设平面A₁BD的法向量

n

=(x，y，z)，

BA1

=（-1，0，1），

BD

=(-1，1，0)，
则

-x+z=0 -x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
∴d=d′=

| A1B1 • n |

| n |

=

1

3

=

3

3

．
∴点E到平面A₁BD的距离为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．