Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点M（1，

3

2

）；过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，满足

PA

•

PB

=

PM

²，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，且

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x-2）+1，由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，由此根据韦达定理、根的判别式、向量数量积，结合已知条件推导出存在直线l满足条件，其方程为y=

1

2

x．

解答： 解：（Ⅰ）∵中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点M（1，

3

2

），
∴设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由题意得

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵过点P（2，1）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
∴若存在直线l满足题意，则直线l的斜率必存在，
设直线l的方程为：y=k（x-2）+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-2)+1

，
得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0，
∵直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴△=[-8k（2k-1）]²-4（3+4k²）（16k²-16k-8）＞0，
整理，得32（6k+3）＞0，解得k＞-

1

2

，
又x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x1x2=

16k2-16k-8

3+4k2

，
∵

PA

•

PB

=

PM

2，即（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=

5

4

，
∴（x₁-2）（x₂-2）（1+k²）=|PM|²=

5

4

，
∴[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

，
∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-2•

8k(2k-1)

3+4k2

+4]（1+k²）=

4+4k2

3+4k2

=

5

4

，
解得k=±

1

2

，∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

，
∴存在直线l满足条件，其方程为y=

1

2

x．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．