Question

已知函数f（x）=

ex+1

ex-1

（1）求f（x）的定义域
（2）判断函数f（x）的奇偶性
（3）证明：当x＞0时，f（x）＞1．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求f（x）的定义域可令分母e^x-1≠0求解即可；
（2）讨论f（x）的奇偶性并证明，本函数是一个奇函数，由定义法证明即可；
（3）化简f（x）的表达式，利用指数函数在（0，+∞）的单调性与值域，即可证明结果．

解答： 解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为f（x）=1+

2

ex-1

，由于e^x-1≠0，故x≠0．
∴f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）函数是一个奇函数，证明如下
f（-x）=

e-x+1

e-x-1

=

ex+1

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f（x），故是一个奇函数．
（3）由于f（x）=1+

2

ex-1

，在（0，+∞）上，e^x-1递增且函数值大于0，

2

ex-1

＞0，在（0，+∞）上恒成立，故当x＞0时，f（x）＞1．

点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的定义域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于胸，熟知其各种判断证明方法．