Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

+m（ω＞0）的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，角角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（c）=1且a+b=10，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：解三角形

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据函数的周期求得ω，根据函数的最小值求得m，则函数的解析式可得．
（2）先根据f（c）=1，求得C，进而根据三角形面积公式和基本不等式求得三角形面积的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

+m=

3

sinωx-cosωx+m-1=2sin（ωx-

π

6

）+m-1，
∵函数的最小正周期为3π，
∴

2π

ω

=3π，ω=

2

3

∴f（x）=2sin（

2

3

x-

π

6

）+m-1，
∵x∈[0，π]，
∴

2

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴f（x）_min=-

1

2

×2+m-1=0，
∴m=2，
∴f（x）=2sin（

2

3

x-

π

6

）+m-1．
（2）f（c）=2sin（

2

3

C-

π

6

）+1=1，
∴sin（

2

3

C-

π

6

）=0，
∴

2

3

C-

π

6

=0，C=

π

4

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

2

4

ab≤

2

4

•

(a+b)2

4

=

2

4

×

100

4

=

25 2

4

，
即三角形面积最大值为

25 2

4

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．