Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²．
（1）若椭圆上存在一点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，使∠APB=90°，求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当椭圆的离心率e取第（1）问中的最小值，且椭圆的一条准线方程为x=2时，作一直线l与圆O相切，且交椭圆于M，N两点，A₁，A₂是x轴上关于原点对称的两点，B₁，B₂是y轴上关于原点对称的两点，若

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，求|A₁B₁|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）连结OP，OA，则|OP|=2|OA|=

2

b，设P（x₀，y₀），x02=

a2b2

a2-b2

，由0≤x02=

a2b2

a2-b2

≤a2，能求出椭圆的离心率e的取值范围．
（2）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2，得椭圆方程为

x2

2

+y2=1，圆O的方程为：x²+y²=1，设点A₁，A₂的坐标分别为（m，0），（-m，0），B₁，B₂的坐标分别为（0，n），（0，-n），M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，得x12+x22+y12+y22=m2+n2，由此能求出|A₁B₁|的取值范围．

解答： 解：（1）连结OP，OA，则∠OPA=45°，
∴|OP|=2|OA|=

2

b，
设P（x₀，y₀），由x0 2+y02=2b2和

x02

a2

+

y02

b2

=1联立，得：x02=

a2b2

a2-b2

，
由0≤x02=

a2b2

a2-b2

≤a2，得a²≥4b²，
∴

2

2

≤e＜1．
∴椭圆的离心率e的取值范围[

2

2

，1）．
（2）由e=

c

a

=

2

2

，

a2

c

=2，得a=

2

，c=1，b=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1，
圆O的方程为：x²+y²=1，
设点A₁，A₂的坐标分别为（m，0），（-m，0），
B₁，B₂的坐标分别为（0，n），（0，-n），
M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
代入

A1M

•

A2M

+

B1N

•

B2N

=0，
代简，得x12+x22+y12+y22=m2+n2，
又∵点M，N在椭圆上，∴y12+y22=1-

x12

2

+1-

x22

2

，
代入上式，得2+

1

2

(x12+x22)=m2+n2，
而|A1B1|2=m2+n2，
①当直线l的斜率不存在时，x12+x22=1+1=2，则m²+n²=3．
②法直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+t，
由题意知k≠0，∵直线与圆相切，∴t²=1+k²，
联立直线与椭圆方程

y=kx+t x2+2y2=2

，
得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
x1+x2=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-2

1+2k2

，
∴m2+n2=3+

2k2-1

4k4+4k2+1

，
当k2=

1

2

时，m²+n²=3，
当k2≠

1

2

时，2k²-1∈（-1，0）∪（0，+∞），
令μ=2k²-1，则m2+n2=3+

2k2-1

4k4+4k2+1

=3+

1

μ+ 4 μ +4

∈（2，3）∪（3，

25

8

）．
综上，得|A1B1|2∈(2，

25

8

]，
即|A₁B₁|∈（

2

，

5 2

4

]．

点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查线段取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．