Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，
（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；
（2）试求f（x）=

lnx

lnx+1

在区间[2，e²]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）lnx在[2，e²]上是增函数，且ln2＞0，所以根据（1）及单调性的定义，x增大时，lnx增大，f（x）增大，也就是x增大时，f（x）增大，所以说f（x）在[2，e²]上是增数，所以f（x）的最大值为f（e²），最小值为f（2），所以带入解析式求出即可．

解答： 解：（1）证明：
设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，则：
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数；
（2）lnx在[2，e²]上是增函数，ln2＞0；
∴由（1）知f（x）=

lnx

lnx+1

在区间[2，e²]上是增函数；
∴f（2）=

ln2

ln2+1

是f（x）在[2，e²]上的最小值；
f（e²）=

2

3

是f（x）在[2，e²]上的最大值．

点评：考查单调性的定义，以及利用单调性的定义证明函数单调性的过程，以及对数函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．