Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ＜π）是R上的偶函数，其图象经过点（0，2），又f（x）的图象关于N（

3π

4

，0）对称，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函数，求得φ=

π

2

．由于函数的图象过点M（0，2），求得 A=2，可得函数y=2cosωx．再由f（x）的图象关于点N（

3π

4

，0）对称，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z，从而解得ω=

2

3

或2．即能够求出f（x）的解析式．

解答： 解：根据函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，故φ=

π

2

．
由于函数的图象过点M（0，2），可得Asinφ=Asin

π

2

=2，∴A=2，故函数y=2cosωx．
再由f（x）的图象关于点N（

3π

4

，0）对称，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z．
可解得：ω=

4k

3

-

2

3

，k∈z．
∵0＜ω≤2，∴ω=

2

3

或2．
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

2

）或f（x）=2sin（2x+

π

2

）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，复合三角函数的图象和性质应用，属于基本知识的考查．