Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域和单调递减区间．

Answer 1

分析 利用倍角公式及辅助角公式化简．
（1）直接利用周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到求f（x）的值域；再由复合函数的单调性求得函数的周期．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=$\sqrt{3}cos2x+sin2x=2（\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．