Question

如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,BC∥PA交⊙O于C,MC∥AB交⊙O于D,交PB,PA的延长线于M,Q.

(1)求证:AD∥PM

(2)设⊙O的半径长为1,PA=PB=2,求CD的长

 

 

Answer 1

(1)见解析

(2)

【解析】(1)∵PA,PB切⊙O于A,B两点,

∴∠PBA=∠PAB

又BC∥PA

∴∠PAB=∠ABC

又∠ADC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等)

∴∠PBA=∠ADC

又AB∥MC

∴∠PBA=∠M

∴∠ADC=∠M

∴AD∥PM

(2) 连接OP,OB,则OB⊥PB

∵OB=1,PB=2

∴OP=

∴AB=

连接AC

∵BC∥PQ

∴AC=AB=,∠CAQ=∠BAP

又AB∥CQ

∴∠Q=∠BAP,∴∠Q=∠CAQ,即CQ=CA=

显然△PAB∽△CAQ

∴AQ=

由切割线定理得

AQ2=QC·QD()2=×QDQD==×<QC

∴CD=QC-QD=-×=×=(此时D点在AC弧上)