Question

某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r-3（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为c千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该储油罐的建造费用最小时的r的值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题

分析：第（1）问要构造y关开x的函数，建造费用y=圆柱形部分每平方米建造费用为c×圆柱形部分的面积+半球形部分每平方米建造费用为3×半球部分的面积；第（2）问，根据第（1）问中求出的解析式，建造费用y是关于r的二次函数，通过分析对称轴与定义域的关系求最值．

解答： 解：（1）y=2πrlc+4πr²•3，
y=（12π+4πc）r²-6πrc（r≥

5

2

）      …（6分）
（2）y=(12π+4πc)[r-

3c

(12+4c)

]2-

9πc2

12+4c

…（8分）
∵

3c

12+4c

=

3

4

(1-

3

c+3

)＜

3

4

，
∴y在[

5

2

，+∞)上是增函数   …（12分）
∴当r=

5

2

时，储油罐的建造费用最小．…（14分）

点评：本题是应用题，解决本题的关键是在理解意的基础上构建函数模型，在求函数最值时要注意函数的定义域；本题涉及的字母比较多，有一定的运算量，属于易错题．