Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿa_n-1，则数列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

Answer 1

分析 通过S_n=2ⁿa_n-1与S_n-1=2^n-1a_n-1-1（n≥2）作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用分组法求和计算即得结论．

解答 解：∵S_n=2ⁿa_n-1，
∴S_n-1=2^n-1a_n-1-1（n≥2），
两式相减得：a_n=2ⁿa_n-2^n-1a_n-1（n≥2），
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2n-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1，
故答案为：2n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

点评 本题考查数列的求和，考查分组法求和，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．