Question

9．求离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，过点P（3，-$\sqrt{2}$）的双曲线方程．

Answer 1

分析 过点P（3，-$\sqrt{2}$）且离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，利用双曲线的标准方程与离心率列出方程组，由此能求出双曲线C的标准方程．

解答 解：∵点P（3，-$\sqrt{2}$）且离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，双曲线为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$时，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \frac{{3}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{（-\sqrt{2}）}^{2}}{{b}^{2}}=1\\{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}\end{array}\right.$，解得a=1，b=$\frac{1}{2}$，当双曲线为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$时，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \frac{{（-\sqrt{2}）}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{3}^{2}}{{b}^{2}}=1\\{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}\end{array}\right.$，
方程组无解，
∴双曲线C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用．