Question

若不等式2x-1＞m（x²-1）对-

1

2

≤x≤

1

2

都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以通过参变量分离，求出相应函数的最值，得出本题的结论．

解答： 解：∵-

1

2

≤x≤

1

2

，
∴x²-1＜0，
∵不等式2x-1＞m（x²-1）对-

1

2

≤x≤

1

2

都成立，
∴m＞

2x-1

x2-1

．
记y=

2x-1

x2-1

=

-2( 1 2 -x)

x2-1

，（-

1

2

≤x≤

1

2

），
设t=

1

2

-x，
则有x=

1

2

-t，t∈[0，1]，
y=g(t)=-

2t

( 1 2 -t)2-1

=

-2t

t2-t- 3 4

，

-2

t- 3 4t -1

≤

8

3

当t=0时，g（t）=0，∴m＞0；
当t≠0时，g(t)=

-2

t- 3 4t -1

，t∈（0，1]，
∵t-

3

4t

≤

1

4

，
∴t-

3

4t

-1≤-

3

4

，
∴

1

t- 3 4t -1

≥-

4

3

，
∴

-2

t- 3 4t -1

≤

8

3

，
即g(t)≤

8

3

．
∴m＞

8

3

．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了参变量分离法和换元法，本题思维难度适中，运算量略大，属于中档题．